Transformaciones lineales

 

Informe - Transformaciones lineales

1. Qué es una tranformación lineal

R/Es una función, aplicación o transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un elemento de un espacio vectorial 𝑉, para convertirlo en un elemento de otro espacio vectorial 𝑊.

2. Cuáles son las condiciones para que exista un transformación lineal.

R/F : V → W es una transformación lineal si y sólo si:

1. F(u+v)=F(u)+F(v)  ∀u,v∈V

2. F(k.v)=k.F(v)         ∀v∈V,∀k∈R

3. Al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales.

R/Propiedad 1

T (0) = 0

Donde 0 es el vector nulo.

Propiedad 2

T (-v) = – T (v)

Propiedad 3

T (u  – v) = T (u) – T(v)

Propiedad 4

Sea v = c1v1 + c2v2 + …. +  cnvn

Propiedad 5

Sean V y W dos K-espacios vectoriales, V de dimensión finita, y sea f : V → W una transformación lineal. Entonces dim V = dim(Nu(f)) + dim(Im(f)).

 

 

4. Un ejemplo de una transformación lineal.

R/

5. Cómo probar esa transformación lineal.

R/Controlamos primero que el transformado del  0 V  sea el  0 W . 

Como  T ( ( 0 , 0 , 0 ) ) = ( 0 , 0 ) , la función dada es «candidata» a ser transformación lineal. 

Para demostrar que es una transformación lineal tenemos que comprobar las condiciones dadas en la definición.  

Condición 1:  T ( u + v ) = T ( u ) + T ( v ) ∀ u , v ∈ V 

Tomamos dos vectores de  R 3

 u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) 

v = ( v 1 , v 2 , v 3 )

 Veamos si

T ( u + v ) = T ( u ) + T ( v )

 Primero hacemos la suma de  u  y  v :

 

Y ahora aplicamos  T : 

 T ( u + v ) = ( u 1 + v 1 + u 3 + v 3 , u 2 + v 2 – 2 u 3 – 2 v 3 )

T ( u + v ) = T ( u ) + T ( v ) 

Se cumple la primera de las condiciones.  

 Condición 2:  T ( k . v ) = k . T ( v ) ∀ v ∈ V , ∀ k ∈ R 

T ( k . v ) = T ( ( k v 1 , k v 2 , k v 3 ) ) = ( k v 1 + k v 3 , k v 2 – 2 k v 3 )

 = k . ( v 1 + v 3 , v 2 – 2 v 3 ) = k . T ( v ) 

Como  T  cumple las dos condiciones, es una transformación lineal.