Espacios vectoriales

• Qué son los espacios vectoriales.
• R/Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real).

• Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.
• R/1. $u+v\in V$
  2. $u+v=v+u$
  3. $\left(u+v\right)+w=u+\left(v+w\right)$
  4. Existe un vector nulo $0_V\in V$ tal que $v+0_V=v$
  5. Para cada $v$ en $V$, existe un opuesto $\left(–v\right)\in V$ tal que $v+\left(–v\right)=0_V$
  6. $\alpha v\in V$
  7. $\alpha \left(u+v\right)=\alpha u+\alpha v$
  8. $\left(\alpha +\beta \right)v=\alpha v+\beta v$
  9. $\alpha \left(\beta v\right)=\left(\alpha \beta \right)v$
  10. $1v=v$

• Qué es un subespacio vectorial.
• R/un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V el espacio vectorial original.

• Enumere las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial e u subespacio.
• R/

1. Propiedad 1: 0u=0V
2. Propiedad 2: α 0V=0V 
3. Propiedad 3: (–α)u=–(αu)  En particular, para α=1: (–1)u=–u

• Explique cuales son la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base.
• R/

1. Dimensión: Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.
2. Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores linealmente independientes que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un conjunto de vectores de dicho espacio. 
3. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un conjunto linealmente independiente que sea a la vez sistema generador de dicho espacio o subespacio.